Le raisonnement probabiliste n'est pas un calcul statique ; c'est un processus dynamique d'actualisation des croyances. Dans un contexte non-conditionnel on suppose un état d'ignorance générale où tous les résultats dans l'espace échantillonnage $S$ sont possibles. Toutefois, l'information est un filtre mathématique qui élimine les résultats incompatibles avec la réalité observée.
Lorsque nous disons que l'événement $F$ s'est produit, nous passons de l'espace global $S$ à un univers restreint $F$. La probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$, notée $P(E|F)$, est simplement la proportion de l'univers nouveau $F$ où $E$ se produit également.
Le récit de l'évidence
La transition de $P(E)$ à $P(E|F)$ constitue le fondement mathématique de l'estimation basée sur les preuves. Si $P(E|F) > P(E)$, l'évidence $F$ soutient l'hypothèse $E$. Si $P(E|F) < P(E)$, $F$ contredit $E$.
Imaginez un événement servi avec les options de menu suivantes :
| Plat | Options |
|---|---|
| Entrée | Poulet, Boeuf rôti (2) |
| Accompagnement | Pâtes, Riz, Pommes de terre (3) |
| Dessert | Glace, Gelée, Tarte aux pommes, Abricot (4) |
Espace non-conditionnel : Il y a $2 \times 3 \times 4 = 24$ combinaisons de repas possibles au total. $P(\text{Pâtes}) = 8/24 = 1/3$.
Information conditionnelle : Nous apprenons que l'invité est végétarien et qu'il a certainement choisi les « pâtes ». Notre choix d'« accompagnement » est désormais fixé (1 seule option). Le dénominateur de notre univers passe de $24$ à $2 \times 1 \times 4 = 8$. Voilà la puissance de l'information : elle réduit l'espace échantillonnage et modifie le dénominateur.
Définition de la formule
Pour deux événements $E$ et $F$ quelconques, si $P(F) > 0$, la probabilité conditionnelle est définie par :
$$P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$$